Přijímačky z matematiky

Tělesa: objem a povrch na přijímačky, příklady s postupem

Tělesa jsou skoro v každém testu a úspěšnost je jen kolem 28 %. Žáci si pletou povrch s pláštěm a chybují v jednotkách. Tady je 6 příkladů z naší sady. Nejdřív počítejte sami, postup si rozbalte až potom.

Na co si dát pozor

  • Vzorce na objem a povrch v testu nejsou uvedeny, musíte je znát. Pamatujte: objem hranolu i válce je V = obsah podstavy · výška, povrch kvádru S = 2 · (ab + bc + ac).
  • Povrch je součet obsahů všech stěn, plášť jen součet obsahů bočních stěn (bez podstav). U válce (r je poloměr podstavy, v výška) platí: plášť = 2 · π · r · v, povrch = 2 · π · r² + 2 · π · r · v.
  • Jednotky: 1 l = 1 dm³ = 1 000 cm³, 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 l. Před výpočtem převeďte všechny rozměry na stejnou jednotku.
  • Poloměr je polovina průměru: při průměru 10 cm počítejte s r = 5 cm. Používejte π = 3,14 a nejdřív spočtěte r².

Příklady

Základ

1. Vypočtěte objem a povrch krychle s hranou 5 cm.

Zobrazit postup a výsledek
  1. Objem krychle: V = a · a · a = 5 · 5 · 5 = 125 cm³.
  2. Povrch tvoří 6 shodných čtverců o straně 5 cm. Obsah jednoho čtverce je 5 · 5 = 25 cm².
  3. Povrch: S = 6 · 25 = 150 cm².

Výsledek: V = 125 cm³, S = 150 cm²

Základ

2. Převeďte jednotky: a) 3,5 dm³ = … cm³, b) 2 400 cm³ = … l, c) 0,6 m³ = … l, d) 1 500 l = … m³.

Zobrazit postup a výsledek
  1. a) 1 dm³ = 1 000 cm³, takže 3,5 · 1 000 = 3 500 cm³.
  2. b) 1 l = 1 000 cm³, takže 2 400 : 1 000 = 2,4 l.
  3. c) 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 l, takže 0,6 · 1 000 = 600 l.
  4. d) 1 500 l = 1 500 dm³, 1 m³ = 1 000 dm³, takže 1 500 : 1 000 = 1,5 m³.

Výsledek: a) 3 500 cm³, b) 2,4 l, c) 600 l, d) 1,5 m³

Jako u zkoušky

3. Podstava kvádru má rozměry 12 cm a 5 cm, objem kvádru je 480 cm³. Vypočtěte výšku kvádru a jeho povrch. Uveďte celý postup.

Zobrazit postup a výsledek
  1. Objem kvádru: V = a · b · c, tedy 480 = 12 · 5 · c = 60 · c.
  2. Výška: c = 480 : 60 = 8 cm.
  3. Obsahy stěn: 12 · 5 = 60 cm², 12 · 8 = 96 cm² a 5 · 8 = 40 cm².
  4. Povrch: S = 2 · (60 + 96 + 40) = 2 · 196 = 392 cm².

Výsledek: v = 8 cm, S = 392 cm²

Jako u zkoušky

4. Prázdné akvárium tvaru kvádru má dno o rozměrech 50 cm a 40 cm. Nalijeme do něj 30 litrů vody. a) Do jaké výšky voda sahá? b) Kolik litrů vody musíme ještě dolít, aby voda sahala do výšky 35 cm?

Zobrazit postup a výsledek
  1. Obsah dna: 50 · 40 = 2 000 cm². Objem vody: 30 l = 30 000 cm³.
  2. a) Výška hladiny je objem vody dělený obsahem dna: 30 000 : 2 000 = 15 cm.
  3. b) Do výšky 35 cm je potřeba 2 000 · 35 = 70 000 cm³ = 70 l.
  4. Dolít musíme 70 − 30 = 40 l. Jiný postup: hladina musí vystoupit o 35 − 15 = 20 cm, tedy 2 000 · 20 = 40 000 cm³ = 40 l.

Výsledek: a) 15 cm, b) 40 l

Jako u zkoušky

5. Do kvádrové krabice je těsně uloženo 24 míčů o poloměru 5 cm: 4 míče v řadě, 3 řady vedle sebe a 2 vrstvy nad sebou. Míče se navzájem dotýkají i stěn krabice. a) Jaké rozměry má krabice? b) Jaký je její vnitřní objem v litrech?

Zobrazit postup a výsledek
  1. Pozor: poloměr míče je 5 cm, tedy jeho průměr je 10 cm. V řadě vedle sebe zabere každý míč 10 cm.
  2. a) Délka: 4 · 10 = 40 cm, šířka: 3 · 10 = 30 cm, výška: 2 · 10 = 20 cm.
  3. b) Objem: V = 40 · 30 · 20 = 24 000 cm³ = 24 dm³ = 24 l.

Výsledek: a) 40 cm, 30 cm a 20 cm, b) 24 l

Náročnější

6. Nádoba tvaru kvádru má dno o rozměrech 25 cm a 16 cm a výšku 30 cm. Voda v ní sahá do výšky 12 cm. Do vody úplně ponoříme kovovou krychli o hraně 10 cm (voda nepřeteče). O kolik centimetrů vystoupí hladina?

Zobrazit postup a výsledek
  1. Krychle vytlačí tolik vody, jaký je její objem: 10 · 10 · 10 = 1 000 cm³.
  2. Obsah dna nádoby: 25 · 16 = 400 cm². Hladina vystoupí o x cm. Objem přibylé vrstvy vody je 400 · x cm³ a rovná se objemu krychle: 400 · x = 1 000.
  3. x = 1 000 : 400 = 2,5 cm.
  4. Kontrola: hladina je nyní ve výšce 12 + 2,5 = 14,5 cm. To je víc než 10 cm (krychle je celá pod vodou) a méně než 30 cm (voda nepřeteče).

Výsledek: o 2,5 cm

Ukázka k tisku zdarma

8 úloh na zlomky jako PDF s místem na počítání a postupy na konci. Stáhnete ho bez e-mailu.

Stáhnout PDF zdarma

Chci k tomu i tipy na přípravu e-mailem
Kdo jste?

Co vás zatím drží od objednání?

Anonymně, stačí jedno kliknutí.

Další témata: zlomky, grafy, tabulky a průměr, konstrukční úlohy, obvody, obsahy a pythagorova věta, poměr a úměrnost, procenta, rovnice, slovní úlohy, úhly a trojúhelníky, výrazy a mnohočleny, úsudek a vzory. Kompletní sada všech 12 témat k tisku stojí 349 Kč, podívejte se, co v ní je.