Přijímačky z matematiky

Úhly a trojúhelníky na přijímačky: příklady s postupem

Úhly se v přijímačkách počítají v geometrických úlohách i ve výběru z možností A–E. Pomůže pečlivý náčrt. Tady je 6 příkladů z naší sady. Nejdřív počítejte sami, postup si rozbalte až potom.

Na co si dát pozor

  • Vedlejší úhly dávají dohromady 180°, vrcholové úhly jsou stejně velké. U rovnoběžek jsou souhlasné i střídavé úhly stejné, kdežto úhly vnitřní jednostranné (tvar písmene C) dávají dohromady 180°. Rovnoběžnost smíte použít jen tehdy, když ji zadání uvádí.
  • Součet vnitřních úhlů je v trojúhelníku 180° a ve čtyřúhelníku 360°. Vnější úhel trojúhelníku se rovná součtu dvou vnitřních úhlů, které k němu nepřiléhají.
  • Rovnoramenný trojúhelník má stejné úhly při základně, rovnostranný má všechny úhly 60°. Stejné strany hledejte i skryté (například dva poloměry téže kružnice).
  • Výška vede z vrcholu kolmo k protější straně, těžnice do jejího středu. Těžnice rozdělí trojúhelník na dva trojúhelníky se stejným obsahem, v rovnoramenném trojúhelníku je výška k základně zároveň těžnicí.

Příklady

Základ

1. Dva úhly trojúhelníku mají velikosti 38° a 52°. Vypočtěte velikost třetího úhlu a rozhodněte, zda je trojúhelník ostroúhlý, pravoúhlý, nebo tupoúhlý.

Zobrazit postup a výsledek
  1. Součet úhlů v trojúhelníku je 180°: 180° − 38° − 52° = 90°.
  2. Jeden z úhlů je pravý, trojúhelník je proto pravoúhlý.

Výsledek: 90°, trojúhelník je pravoúhlý

Základ

2. Převeďte: a) 2° 15′ na minuty, b) 200′ na stupně a minuty, c) 3,5° na stupně a minuty.

Zobrazit postup a výsledek
  1. Platí 1° = 60′.
  2. a) 2 · 60′ + 15′ = 135′.
  3. b) 200 : 60 = 3 se zbytkem 20, tedy 3° 20′.
  4. c) 0,5° = 30′, tedy 3,5° = 3° 30′.

Výsledek: a) 135′, b) 3° 20′, c) 3° 30′

Jako u zkoušky

3. Dva vedlejší úhly jsou v poměru 4 : 5. Vypočtěte jejich velikosti. Uveďte celý postup.

Zobrazit postup a výsledek
  1. Vedlejší úhly mají dohromady 180°. Poměr 4 : 5 znamená 4 + 5 = 9 stejných dílů.
  2. Jeden díl: 180° : 9 = 20°.
  3. Menší úhel: 4 · 20° = 80°, větší úhel: 5 · 20° = 100°.
  4. Zkouška: 80° + 100° = 180° a 80 : 100 = 4 : 5.

Výsledek: 80° a 100°

Jako u zkoušky

4. Úhel při vrcholu rovnoramenného trojúhelníku je trojnásobkem úhlu při jeho základně. Vypočtěte velikosti všech tří úhlů tohoto trojúhelníku. Uveďte celý postup.

Zobrazit postup a výsledek
  1. Úhel při základně označíme x, druhý úhel při základně má také velikost x, úhel při vrcholu je 3x.
  2. x + x + 3x = 180°, 5x = 180°, x = 36°.
  3. Úhly mají velikosti 36°, 36° a 3 · 36° = 108°.
  4. Zkouška: 36° + 36° + 108° = 180°.

Výsledek: 36°, 36°, 108°

Jako u zkoušky

5. Vypočtěte a výsledky zapište ve stupních a minutách: a) 48° 35′ + 27° 40′, b) velikost úhlu vedlejšího k úhlu 124° 18′, c) velikost poloviny úhlu 75° 20′.

Zobrazit postup a výsledek
  1. a) 48° + 27° = 75° a 35′ + 40′ = 75′ = 1° 15′, celkem 76° 15′.
  2. b) 180° − 124° 18′ = 179° 60′ − 124° 18′ = 55° 42′.
  3. c) 75° 20′ = 4 520′, polovina je 2 260′ = 37° 40′. Jinak: 75° 20′ = 74° 80′, polovina je 37° 40′.

Výsledek: a) 76° 15′, b) 55° 42′, c) 37° 40′

Náročnější

6. Dvě strany trojúhelníku mají délky 5 cm a 9 cm. Délka třetí strany je v centimetrech vyjádřena celým číslem. Kolik různých délek třetí strany je možných?

Zobrazit postup a výsledek
  1. Trojúhelníková nerovnost: x + 5 > 9, tedy x > 4, a 5 + 9 > x, tedy x < 14. Nerovnost 9 + x > 5 platí vždy.
  2. Celá čísla větší než 4 a menší než 14 jsou 5, 6, …, 13.
  3. Počet: 13 − 5 + 1 = 9. Délky 4 cm a 14 cm nejsou možné, protože by trojúhelník splynul s úsečkou.

Výsledek: 9 délek (od 5 cm do 13 cm)

Ukázka k tisku zdarma

8 úloh na zlomky jako PDF s místem na počítání a postupy na konci. Stáhnete ho bez e-mailu.

Stáhnout PDF zdarma

Chci k tomu i tipy na přípravu e-mailem
Kdo jste?

Co vás zatím drží od objednání?

Anonymně, stačí jedno kliknutí.

Další témata: zlomky, grafy, tabulky a průměr, konstrukční úlohy, obvody, obsahy a pythagorova věta, poměr a úměrnost, procenta, rovnice, slovní úlohy, tělesa: objem a povrch, výrazy a mnohočleny, úsudek a vzory. Kompletní sada všech 12 témat k tisku stojí 349 Kč, podívejte se, co v ní je.